Библиографическое описание:Dihedral and Quaternion Autotopism Subgroups of Semifield Projective Planes of Order <i>p</i>4 : научное издание / Olga V. Kravtsova, Daria S. Skok. - Текст : непосредственный // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2026. - Т.56, №. - P. 145-159. - This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement No. 075-02-2026-1314). - ISSN 1997-7670. - ISSN 2541-8785, DOI 10.26516/1997-7670.2026.56.145.
Аннотация:In 1959, D.R. Hughes conjecture that the full collineation group of any finite non-Desarguesian semifield projective plane is solvable (see also the question 11.76 byN.D. Podufalov in Kourovka notebook). The spread set method is useful to exclude some simple non-Abelian groups from the list of possible autotopism subgroups (collineations fixing a triangle) or for constructing the examples of semifield planes with certain autotopism subgroup. The present paper continues the series of results on 2-subgroups and 2-elements in an autotopism group. The natural restrictions from previous papers allow us to complete the description of dihedral and quaternion autotopism subgroup of order 8, together with their geometrical sense. For a semifield projective plane of odd order and 4-dimensional over the center, the matrix representation of the spread set is determined, depending on the characteristic of prime field. It is proven that the dihedral autotopism group of order 8 necessarily contains the perspectivities and therefore cannot be a subgroup of any simple non-Abelian group. For the case of a quaternion subgroup without perspectivities, examples of semifield projective planes of order 81 and 2401 are constructed, up to isomorphism. The list of exceptions complements the classical results of H. Lu¨neburg etc. on projective special linear collineation groups. The method used and the described algorithms allow for generalization to the case of a different dimension or a different order.
Отмечается, что в 1959 г. Д. Р. Хьюз выдвинул предположение, что полная группа коллинеаций всякой конечной недезарговой полуполевой проективной плоскости разрешима (см. также вопр. 11.76 Н. Д. Подуфалова в «Коуровской тетради»). Метод регулярного множества предлагается использовать для исключения некоторых простых неабелевых групп из списка возможных подгрупп автотопизмов (коллинеаций, фиксирующих треугольник). Настоящая статья продолжает цикл результатов о 2-подгруппах и 2-элементах в группе автотопизмов. Естественные ограничения, полученные ранее, позволяют завершить описание диэдральных и кватернионных подгрупп порядка 8 в группе автотопизмов, с указанием их геометрического смысла. Получено матричное представление регулярного множества для полуполевой проективной плоскости нечетного порядка и размерности 4 над центром, в зависимости от характеристики его простого подполя. Доказано, что диэдральная подгруппа автотопизмов порядка 8 обязательно содержит перспективности и поэтому не может быть подгруппой никакой простой неабелевой группы. Для случая кватернионной подгруппы автотопизмов без перспективностей построены примеры полуполевых проективных плоскостей порядков 81 и 2401 с точностью до изоморфизма. Список исключений дополняет классические результаты Х. Люнебурга и других о проективных специальных линейных подгруппах коллинеаций. Используемый метод и описанные алгоритмы допускают обобщение на случай другой размерности или другого порядка.
