Библиографическое описание:О ПОРОЖДАЕМОСТИ ГРУПП ${GL_n(q)}$ И ${PGL_n(q)}$ ТРЕМЯ ИНВОЛЮЦИЯМИ, ДВЕ ИЗ КОТОРЫХ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ : научное издание / И. А. Марковская, Я. Н. Нужин. - Текст : непосредственный // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2025. - Т. 31, № 4. - С. 247-259. - Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект 25-21-20059, https://rscf.ru/project/25-21-20059/. - ISSN 0134-4889. - ISSN 2658-4786, DOI 10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-03.
Аннотация:Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть $(2\times 2,2)$-порожденной. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций. В частности, в нашем определении любая диэдральная группа является $(2\times 2,2)$-порожденной. Вопрос о $(2\times 2,2)$-порождаемости конечных простых групп был поставлен В.Д. Мазуровым в Коуровской тетради в 1980 году. Ответ на этот вопрос известен, и он положителен, за исключением трех знакопеременных групп, некоторых групп лиева типа ранга не больше трех и четырех спорадических групп. В данной статье рассматривается $(2\times 2,2)$-порождаемость общей линейной группы $GL_n(q)$ над конечным полем порядка $q$ и ее проективного образа $PGL_n(q)$. Доказано, что $GL_n(q)$ (соответственно $PGL_n(q)$) тогда и только тогда является $(2\times 2,2)$-порожденной, когда либо a) $q=2$ и $n=2$ или $n\geq5$, либо б) $q=3$ и $n\geq 5$ (соответственно когда либо а) $n=2$ и $q$ любое, либо б) $n\geq 4$ и $(n,q-1)=2$, либо в) $n\geq 5$ и $(n,q-1)=1$).
A group generated by three involutions, two of which commute, will be called $(2\times 2,2)$-generated. The class of such groups is closed with respect to homomorphic images, if, by definition, we consider the identity group as such and do not exclude the coincidence of two or all three involutions. For finite simple groups, the question of generation by three involutions, two of which commute, was formulated by V.D. Mazurov in the Kourovka notebook in 1980. The answer to this question is known, and it is positive, excluding three alternating groups, some groups of Lie type of rank no more than three, and four sporadic groups. This article considers the $(2\times 2,2)$-generation of the general linear group over a finite field and its projective image $PGL_n(q)$. <br>It is proven that $GL_n(q)$ (respectively $PGL_n(q)$) is $(2\times 2,2)$-generated if and only if a) $q=2$ and $n=2$ or $n\geq5$, or b) $q=3$ and $n\geq5$ (respectively, when either a) $n=2$ and any $q$, or b) $n\geq 4$ and $(n,q-1) =2$, or c) $n\geq 5$ and $(n,q-1)=1$).
Ключевые слова:general and projective linear groups, finite field, generating triples of involutions, общая и проективная линейные группы, конечное поле, порождающие тройки инволюций
