Библиографическое описание:Обобщенные уравнения Навье-Стокса, ассоциированные с комплексом Дольбо : научное издание / А. А. Шлапунов, А. Н. Полковников. - Текст : непосредственный // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2025. - Т.241, №. - С. 90-100. - Работа выполнена при поддержке Красноярского математического центра и Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № 075-02-2024-1429). - ISSN 2782-4438, DOI 10.36535/2782-4438-2025-241-90-100.
Аннотация:Рассматривается задача Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений, структурно похожая на классические эволюционные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Основное отличие этой системы состоит в том, что она порождена не стандартными операторами градиента, дивергенции и poтopa, а многомерным оператором Коши-Римана, его комплексом совместности (который обычно называется комплексом Дольбо) и его формально сопряженным оператором. Схожесть структуры позволяет доказать для этой задачи теорему существования слабых решений и теорему об открытом отображении на шкале специально построенных пространств Бохнера-Соболева. Кроме того, получен критерий существования «сильного» решения в данных пространствах.
We consider the Cauchy problem for a system of nonlinear differential equations structurally similar to the classical evolutional Navier-Stokes equations for an incompressible liquid. The main difference of this system is that it is generated not by the standard gradient, divergence, and curl operators, but by the multidimensional Cauchy-Riemann operator, its the compatibility complex (which is usually called the Dolbeault complex) and its formally adjoint operator. The similarity of the structure makes it possible to prove the theorem of the existence of weak solutions for this problem and the open mapping theorem on the scale of specially constructed Bochner-Sobolev spaces. In addition, a criterion for the existence of a “strong” solution in these spaces is obtained.
