Библиографическое описание:Законы сохранения и решения первой краевой задачи для двумерных и трёхмерных уравнений теории упругости : научное издание / С. И. Сенашов, И. Л. Савостьянова. - Текст : непосредственный // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2024. - Т. 27, № 2. - С. 100-111. - Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ на выполнение проекта «Разработка многофункциональных интеллектуальных материалов и структур на основе модифицированных полимерных композиционных материалов способных функционировать в экстремальных условиях» (проект FEFE-2020-0015). - ISSN 1560-7518, DOI 10.33048/SIBJIM.2024.27.107.
Аннотация:Известно, что если система дифференциальных уравнений допускает группу непрерывных преобразований, то в ряде случаев, она может быть представлена в виде совокупности двух систем дифференциальных уравнений. Как правило, эти системы имеют меньший порядок, чем исходная система. Выше сказанное относится к линейным уравнениям теории упругости. Первая система - автоморфная, характеризуется тем, что все её решения получаются из одного решения с помощью преобразований этой группы. Вторая система - разрешающая, её решения под действием группы переходят сами в себя. Разрешающая система несёт основную информацию об исходной системе. В данной работе изучаются автоморфная и разрешающая системы двумерных и трёхмерных стационарных уравнения упругости которые являются системами дифференциальных уравнений первого порядка. Построены бесконечные серии законы сохранения для разрешающих систем уравнений и автоморфных систем. Поскольку рассматриваемые системы уравнений упругости линейны, то таких законов имеется бесконечно много. В данной работе построена бесконечные серии законов сохранения линейных по первым производным. Именно эти законы позволили решить первую краевую задачи для уравнений теории упругости в двумерном и трёхмерном случае. Решения построены в виде квадратур, которые вычисляются по границе исследуемых областей.
If a system of differential equations admits a continuous transformation group, then, in some cases, the system can be represented as a combination of two systems of differential equations. These systems, as a rule, are of smaller order than the original one. This information pertains to the linear equations of elasticity theory. The first system is automorphic and is characterized by the fact that all of its solutions are obtained from a single solution using transformations in this group. The second system is resolving, with its solutions passing into themselves under the group action. The resolving system carries basic information about the original system. The present paper studies the automorphic and resolving systems of two- and three-dimensional time-invariant elasticity equations, which are systems of first-order differential equations. We have constructed infinite series of conservation laws for the resolving systems and automorphic systems. There exist infinitely many such laws, since the systems of elasticity equations under consideration are linear. Infinite series of linear conservation laws with respect to the first derivatives are constructed in this article. It is these laws that permit solving the first boundary value problem for the equations of elasticity theory in the two- and three-dimensional cases. The solutions are constructed by quadratures, which are calculated along the boundary of the studied domains.
Ключевые слова:equations of two-dimensional elasticity, equations of three-dimensional elasticity, conservation laws, solution of boundary value problems, уравнения двумерной упругости, уравнения трёхмерной упругости, законы сохранения, решение краевых задач
