Библиографическое описание:ВОПРОСЫ СТРОЕНИЯ КОНЕЧНЫХ КВАЗИПОЛЕЙ ХОЛЛА : научное издание / О. В. Кравцова, В. С. Логинова. - Текст : непосредственный // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2024. - Т.30, №1. - С. 128-141. - Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2023-936). - ISSN 0134-4889. - ISSN 2658-4786, DOI 10.21538/0134-4889-2024-30-1-128-141.
Аннотация:Конечные квазиполя изучаются взаимосвязанно с проективными плоскостями трансляций уже более века. Выявление особенностей строения и аномальных свойств представляет важный шаг в решении проблемы классификации конечных квазиполей. В статье решаются структурные вопросы для конечных квазиполей Холла. Это двумерные над центром квазиполя, все нецентральные элементы которых удовлетворяют одному квадратному уравнению. Группа автоморфизмов действует транзитивно на нецентральных элементах. Все квазиполя Холла одного порядка координатизируют одну плоскость трансляций - плоскость Холла. Метод регулярного множества, основанный на записи умножения как линейного преобразования, применяется для описания подполей и подквазиполей, спектров и автоморфизмов. Приводится алгоритм вычисления количества попарно неизоморфных квазиполей Холла одного порядка. Уточняется теорема М. Кордеро и В. Джа 2009 г. о покрытии и примитивности, с контрпримерами примитивных квазиполей Холла. Указаны квазиполя порядка 16 с покрытием подполями порядка 4, не содержащиеся в квазиполях Холла. В связи с примерами перечислены вопросы дальнейшего исследования.
The finite quasifields have been studied together with projective translation planes for more than a century. The identification of structural features and anomalous properties is an important step in solving the classification problem of finite quasifields. The article solves the structural problems for finite Hall quasifields. These are quasifields two-dimensional over the center such that all non-central elements are the roots of a unique quadratic equation. The automorphism group acts transitively on non-central elements. All Hall quasifields of the same order coordinatize one isomorphic translation plane, which is the Hall plane. The spread set method allows to present the multiplication rule as a linear transformation. The method is used to describe subfields, sub-quasifields, spectra, and automorphisms. An algorithm to calculate the number of pairwise non-isomorphic Hall quasifields of the same order is given. The covering and primitivity theorem by M. Cordero and V. Jha (2009) is clarified, with the primitive Hall quasifields counter-examples. The quasifields of order 16 covered by subfields of order 4 not contained in any Hall quasifield are presented. The examples also raise the questions for further investigation.
