Решение уравнения неразрывности консервативным полулагранжевым методом с разными шагами по времени в разных частях вычислительной области : научное издание
Библиографическое описание:Решение уравнения неразрывности консервативным полулагранжевым методом с разными шагами по времени в разных частях вычислительной области : научное издание / А. В. Вяткин, А. Д. Мальцев. - Текст : непосредственный // Сибирский аэрокосмический журнал. - 2023. - Т.24, №2. - С. 218-233. - ISSN 2712-8970, DOI 10.31772/2712-8970-2023-24-2-218-233.
Аннотация:Течение газа, вытекающего из сопла ракеты, описывается системой уравнений Навье - Стокса. Для поиска решения уравнений Навье - Стокса в общем случае используются численные методы. Однако даже современные численные методы не позволяют осуществить моделирование течения газа с учетом всех особенностей течения. Это связано со сложными физическими процессами, возникающими при течении газа из сопла, и ограничением вычислительных возможностей. Существует как минимум два пути решения этой сложности: разрабатывать численные методы, использующие меньшую вычислительную сложность, или повышать производительность вычислительных систем. В связи с этим, целью многих научных исследований является разработка численных методов, которые по отношению к существующим методам требуют меньше вычислительных ресурсов и, одновременно с этим, позволяют находить решение без потери точности. В 1959 г. Aksel C. Wiin-Nielsen представил новый численный метод для решения задачи прогнозирования погоды, названный методом траекторий. В 1966 г. К. М. Магомедов использовал аналогичных подход при разработке численного алгоритма для поиска численного решения задачи, моделирующей трехмерное течение газа. В 1982 г. O. Pironneau развил этот метод для построения численного решения двумерных уравнений Навье - Стокса. В настоящее время эти методы интенсивно развиваются и у них устоялось общее название: полулагранжевы или эйлеролагранжевы методы. Чтобы использовать преимущества этого подхода, ученые раскладывают уравнения Навье - Стокса на три составляющие: конвективная часть (гиперболическая часть уравнений), эллиптическая часть и часть известных величин, которая записывается в правой части уравнений. При решении уравнений Навье - Стокса полулагранжевы методы используются для аппроксимации конвективной части. К этой части относятся все слагаемые уравнения неразрывности. Для разработки численного метода мы будем искать решение уравнения неразрывности. Консервативные версии полулагранжевых методов основаны на теореме Гаусса - Остроградского (теорема о дивергенции в зарубежной литературе). Такой подход позволяет достигнуть выполнения закона сохранения для численного решения задачи в норме пространства L<sub>1</sub>. Целью нашего исследования является разработка численного алгоритма с использованием разных шагов по времени в разных частях вычислительной области. Это позволит добиться выполнения одновременно трех важных свойств: сходимости численного решения задачи к точному ее решению, снижения вычислительной сложности метода, выполнения закона сохранения без использования поправочных (весовых) коэффициентов. Чтобы построить такой алгоритм, мы разбили одномерную вычислительную область на две части (подобласти), в которых мы используем разные шаги по времени. Основная сложность при разработке алгоритма состоит в поиске численного решения на границах двух подобластей. Одномерное (по пространству) уравнение неразрывности является тестовым уравнением для разработки алгоритма, на котором показана принципиальная возможность создания алгоритма с указанными свойствами. В дальнейших исследованиях этот алгоритм будет обобщен для решения двумерной и трехмерной задач. При моделировании реальных задач описанный подход позволит более точно моделировать течение газа без искусственного размывания, связанного с вычислением интегралов на нижнем слое по времени, в частях вычислительной области с высоким уровнем изменения численного решения
The system of Navier - Stokes differential equations describes gas flow near rocket nozzle. To find solution of this system in general case, scientists and engineers use numerical methods. Modern numerical methods do not allow engineers to model all features of gas flow. It happened because of sophisticated physical processes and limitations of computational hardware. So, at least where are two ways to improve it: to enlarge hardware or reduce computational complicacy. The global aim of many science investigations is to develop numerical approach with reduced computational complicacy and at the same time without loss of computational accuracy. In 1959, Aksel C. Wiin-Nielsen proposed a new and effective trajectories method for problem of numerical forecasting. In 1966, K. M. Magomedov developed similar approach (method of characteristics) for numerical modelling of space (three dimensional on space) gas flow. In 1982, O. Pironneau showed a new and effective approach for two dimensional approximation of the Navier - Stokes problem. It was based on method of characteristics also. Nowadays, these methods are called semi- Lagrangian or Eulerian - Lagrangian methods. They use Lagrangian nature of the transport process. To apply this advantage, scientists decompose each equation of Navier - Stokes system into three parts: convective part (hyperbolic type), elliptic part and part of right-hand side. Scientists use semi-Lagrangian approach to approximate the convective parts of equations. To develop and test modern algorithms from family of semi-Lagrangian methods, we use continuity equation from the system of Navier - Stokes equations. Conservative versions of semi-Lagrangian approach are based on Gauss - Ostrogradsky (divergence) theorem. It allows scientists to get conservation low (balance equation) for numerical solution in norm of L<sub>1</sub> space. Aim of our investigation is to use different time steps in different parts of computation domain. It enables us to obtain at the same time three advantages: convergence of numerical solution to exact solution, reduction of computational complicacy, implementation of conservation low (balance equation) without weight coefficients. For this purpose we decompose computational domain into two parts (subdomains) and use different time steps in them. Main complication is design algorithm in the boundaries of computational subdomains. We use one dimensional (on space) problem to demonstrate ability of developing numerical method with described advantages. Generalization of considered approach for twoor even threedimensional cases allows engineers to model gas flow more accurately and without artificial viscosity. It is essentially important in the parts of computational domain with high level of solution gradient.
Ключевые слова:continuity equation, semi-Lagrangian method, balance equation, nonuniform computational grid, fluid mechanics, уравнение неразрывности, полулагранжев метод, закон сохранения массы, сетка с висячими узлами, моделирование течения газа
