Библиографическое описание:О ПОЭЛЕМЕНТНОМ ОПИСАНИИ МОНОИДА ВСЕХ ЭНДОМОРФИЗМОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРУППОИДА И ОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ЭНДОМОРФИЗМОВ ГРУППОИДА : научное издание / А. В. Литаврин. - Текст : непосредственный // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2023. - Т.29, №1. - С. 143-159. - ISSN 0134-4889. - ISSN 2658-4786, DOI 10.21538/0134-4889-2023-29-1-143-159.
Аннотация:В работе рассматривается проблема поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов произвольного группоида. Установлено, что данный моноид раскладывается в объединение попарно непересекающихся классов эндоморфизмов; эти классы получают название базовых множеств эндоморфизмов. Такие множества эндоморфизмов группоида $G$ параметризуются отображениями $\gamma: G\to \{1,2\}$, которые в данной работе называются биполярными типами (либо, кратко, типами). Если некоторый эндоморфизм лежит в базовом множестве типа $\gamma$, то мы говорим, что этот эндоморфизм имеет тип $\gamma$. Таким образом, мы получаем классификацию всех эндоморфизмов фиксированного группоида (биполярную классификацию эндоморфизмов). Выявлена связь между типами эндоморфизмов двух изоморфных группоидов. Базовое множество эндоморфизмов не обязано быть замкнутым относительно композиции. Построены группоиды, в которых некоторые базовые множества замкнуты. Для каждого базового множества строится полугруппа эндоморфизмов, которая в этом базовом множестве содержится. Эти полугруппы в некоторых случаях вырождаются в пустые множества. Приведены примеры группоидов, в которых построенные полугруппы эндоморфизмов непустые. Построенные полугруппы могут быть использованы для исследования проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов и для изучения структуры моноида всех эндоморфизмов.
The problem of element-by-element description of the monoid of all endomorphisms of an arbitrary groupoid is considered. It is established that this monoid is decomposed into a union of pairwise disjoint classes of endomorphisms; these classes are called basic sets of endomorphisms. These sets of endomorphisms of a groupoid $G$ are parameterized by mappings $\gamma: G\to \{1,2\}$, which in this paper are called bipolar types (hereinafter, simply types). If some endomorphism lies in a basic set of type $\gamma$, then we say that it has type $\gamma$. Thus, we obtain a classification of all endomorphisms of a fixed groupoid (a bipolar classification of endomorphisms). A connection between the types of endomorphisms of two isomorphic groupoids is revealed. The basic set of endomorphisms need not be closed under composition. Groupoids are constructed in which some basic sets are closed. For each basic set, an endomorphism semigroup contained in this basic set is constructed. These semigroups in some cases degenerate into empty sets. Examples of groupoids are given in which the constructed endomorphism semigroups are nonempty. The constructed semigroups can be used to study the problem of element-by-element description of the monoid of all endomorphisms and to study the structure of the monoid of all endomorphisms.
