Библиографическое описание:Вариационно-разностный метод решения трехмерных задач электропроводности в гиротропных средах : научное издание / В. В. Денисенко. - Текст : непосредственный // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. - 2022. - № 4. - С. 12-29. - Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 2227-00006, https://rscf.ru/project/22-27-00006/. - ISSN 2304-5728, DOI 10.18101/2304-5728-2022-4-12-29.
Аннотация:Для гиротропной среды операторы эллиптических краевых задач электропроводности, традиционно формулируемых для электрического потенциала, несимметричны, что затрудняет численное решение таких задач. В настоящей работе используются предложенная автором формулировка краевой задачи с симметричным положительно определенным оператором. Новыми неизвестными функциями являются пары специальных потенциалов, скалярного и векторного, которые в частных случаях совпадают с электрическим потенциалом и функцией тока. Аналогичные задачи формулируются при моделировании теплопроводности или диффузии в движущихся или гиротропных средах. Для новой задачи справедлив принцип минимума квадратичного функционала энергии, аналогичный принципу Дирихле для уравнения Пуассона. Введенная энергетическая норма эквивалентна сумме энергетических норм четырех новых неизвестных функций как элементов пространств, используемых для основных краевых задач для уравнения Пуассона. Это позволяет использовать классические теоремы аппроксимации решений кусочно-линейными функциями и создать простой вариационно-разностный метод, то есть свести задачу к системе линейных алгебраических уравнений для узловых значений аппроксимирующих функций. Матрица этой системы симметрична и положительно определена. В настоящей работе выведены формулы, необходимые для построения коэффициентов этой матрицы, начиная с геометрических построений в сеточных тетраэдрах. Предложена дискретная модель, позволяющая интерпретировать одно из уравнений вариационно-разностной схемы как закон сохранения заряда, проинтегрированный по ячейкам сетки. На примерах показана сходимость получающихся приближенных решений при мельчении сетки.
For a gyrotropic medium, the operators of elliptical boundary value current continuity problems, traditionally formulated for electric potential, are asymmetric, which makes it difficult to solve such problems numerically. In this paper, the formulation of the boundary value problem with a symmetric positive definite operator proposed by the author is used. New unknown functions are the pairs of special potentials, scalar and vector, which in particular cases coincide with the electric potential and the current function. Similar problems are formulated when modeling thermal conductivity or diffusion in moving or gyrotropic media. For the new problem, the principle of the minimum of the quadratic energy functional is valid, similar to the Dirichlet principle for the Poisson equation. The introduced energy norm is equivalent to the sum of the energy norms of four new unknown functions as elements of spaces used for basic boundary value problems for the Poisson equation. This makes it possible to use classical theorems of approximation of solutions by piecewise linear functions and to create a simple finite element method, that is, to reduce the problem to a system of linear algebraic equations for nodal values of approximating functions. The matrix of this system is symmetric and positively defined. In this paper, the formulas necessary for constructing the coefficients of this matrix are derived, starting with geometric constructions in grid tetrahedra. A discrete model is proposed that allows interpreting one of the equations of the finite element method as the charge conservation law, integrated over the grid cells. The examples show the convergence of the resulting approximate solutions when the grid is fined.
