Построение высокоточных многосеточных конечных элементов малой размерности с применением локальных аппроксимаций и образующих конечных элементов : научное издание
Библиографическое описание:Построение высокоточных многосеточных конечных элементов малой размерности с применением локальных аппроксимаций и образующих конечных элементов : научное издание / А. Д. Матвеев. - Текст : непосредственный // Сибирский аэрокосмический журнал. - 2022. - Т. 23, № 3. - С. 372-390. - ISSN 2712-8970, DOI 10.31772/2712-8970-2022-23-3-372-390.
Аннотация:Композитные конструкции (тела) широко применяются в авиационной и ракетно-космической технике. Для анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих композитных тел (КТ) эффективно применяется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ), который реализуется на основе функционала Лагранжа (в перемещениях). При построении по известным процедурам многосеточного конечного элемента (МнКЭ), кратко - стандартного МнКЭ, используются мелкая (базовая) сетка, которая может быть сколь угодно мелкой, и крупные сетки, вложенные в мелкую. Мелкая сетка порождена базовым разбиением МнКЭ, которое учитывает в рамках микроподхода его неоднородную, микронеоднородную структуру. Крупные сетки используются для понижения размерности МнКЭ. Для стандартного МнКЭ характерно следующее. Всякая крупная сетка стандартного МнКЭ и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области. Это приводит к увеличению размерности стандартного МнКЭ при повышении его порядка точности, так как в этом случае на крупных сетках определяются аппроксимации перемещений высокого порядка. Для уменьшения погрешности решений применяются высокоточные МнКЭ, т. е. высокого порядка точности, которые имеют большую размерность. Однако, применение высокоточных МнКЭ затруднительно, так как они образуют дискретные модели тел высокой размерности. В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности (кратко - малоразмерных МнКЭ), которые используются для расчета НДС по ММКЭ упругих однородных и КТ. Рассмотрены два типа малоразмерных МнКЭ. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа проектируются на базе стандартных с применением локальных аппроксимаций перемещений, которые определяются на подобластях стандартных МнКЭ, 2-го типа - с применением образующих конечных элементов (КЭ). Краткая суть построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа состоит в следующем. Согласно МЛА на области V <sub>0</sub> стандартного МнКЭ определяем более мелкую сетку Н, чем его базовая. Область V <sub>0</sub> представляем граничными и внутренними областями. Граничные (внутренние) области имеют общую границу (не имеют общей границы) с областью V <sub>0</sub> , общие границы с областью V <sub>0</sub> не вырождаются в точку. На граничных (внутренних) областях определяем крупные сетки, которые вложены в мелкую сетку Н и порождают локальные аппроксимации перемещений малого (высокого) порядка. На области V <sub>0</sub> , используя локальные аппроксимации перемещений граничных и внутренних областей, строим МнКЭ. Затем с помощью метода конденсации выражаем перемещения внутренних узлов МнКЭ через перемещения узлов, лежащих на его границе, т. е. на границе области V <sub>0</sub> . В результате получаем высокоточный МнКЭ Vp малой размерности, т. е. малоразмерный МнКЭ 1-го типа, размерность которого равна размерности стандартного. Важно отметить, что при увеличении порядка точности МнКЭ Vp размерность его не меняется, т. е. не увеличивается, и поэтому он называется высокоточным МнКЭ малой размерности. Подробно изложена процедура построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа. Как известно, расчет на статическую прочность упругих конструкций сводится к определению для них максимальных эквивалентных напряжений, определение которых с малой погрешностью для КТ в настоящее время является актуальной проблемой. Расчеты показывают, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 25-50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, полученных с помощью стандартных, на базе которых построены малоразмерные, т. е. малоразмерные МнКЭ 1-го типа более эффективны, чем стандартные. Применение в расчетах по ММКЭ малоразмерных МнКЭ 1-го типа позволяет для крупных дискретных моделей КТ определять максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью. Показано построение малоразмерных МнКЭ 2-го типа, которые проектируются на базе стандартных высокоточных МнКЭ с применением образующих КЭ. Малоразмерный МнКЭ 2-го типа имеет такой же порядок точности, как стандартный, но размерность его меньше размерности стандартного. Достоинство малоразмерных МнКЭ 2-го типа состоит в том, что они порождают дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные.
Composite structures (bodies), in particular, plates, beams, shells, are widely used in aviation and rocket and space technology. To analyze the stress state of elastic composite bodies (CB), the method of multigrid finite elements (MMFE) is effectively used, which is implemented on the basis of the Lagrange functional (in displacements). When constructing a multigrid finite element (MgFE), briefly a standard MgFE, using known procedures, a small base grid is used, which can be arbitrarily small, and large ones nested in a small one. The fine grid is generated by the partition of the MgFE, which takes into account its inhomogeneous, micro-inhomogeneous structure within the framework of the micro-passage. Large grids are used to reduce the dimension of the MgFE. The following is typical for a standard MgFE. Any large grid of a standard MgFE and corresponding approximations of displacements are determined on its entire area. This leads to an increase in the dimension of the standard MgFE with an increase in its order of accuracy, since in this case approximations of high-order displacements are determined on large grids. To reduce the error of solutions, high-precision MgFE are used, i. e., of a high order of accuracy, which have a large dimension. However, the use of high-precision MgFE is difficult, since they form discrete models of high-dimensional bodies. In this paper, we propose a method of local approximations (MLA) for constructing high-current MgFE of small dimension (short - small-sized MgFE), which are used to calculate elastic homogeneous and CB by MgFE. Two types of small-sized MgFE are considered. Small-sized MgFE of the 1st type are designed on the basis of standard ones with the use of local approximations of displacements, which are determined on the subdomains of standard MgFE, of the 2nd type - with the use of finite element generators (FE). The brief essence of the construction of small-sized MgFE of the 1st type is as follows. According to the MLA, we define a smaller Н grid on the V <sub>0</sub> area of the standard MgFE than its base one. The V <sub>0</sub> region is represented by the boundary and inner regions. The boundary (inner) regions have a common boundary, which does not degenerate into a point (do not have a common boundary), with the V <sub>0</sub> region. On the boundary (inner) regions, we define large grids that are embedded in a small Н grid and generate local approximations of small (high) order displacements. On the V <sub>0</sub> region, using local approximations of the displacements of the boundary and inner regions, we construct the MgFE. Then, using the condensation method, we express the movements of the internal nodes of the MgFE through the movements of the nodes lying on its boundary, i.e. on the boundary of the V <sub>0</sub> region. As a result, we obtain a high-precision Vp MgFE of small dimension, i.e. a small-sized MgFE of the 1st type, the dimension of which is equal to the dimension of the standard one. It is important to note that with an increase in the order of accuracy of the Vp MgFE, its dimension does not change, i.e. it does not increase, and therefore it is called a high-precision MgFE of small dimension, i.e. small-sized. The procedure for constructing small-sized MgFE of the 1st type is described in detail. As is known, the calculation of the static strength of structures is reduced to determining the maximum equivalent stresses for them, the determination of which with a small error for CB is an urgent problem. Calculations show that small-sized MgFE of the 1st type generate maximum equivalent stresses in CB, the errors of which are 25 ¸ 50 smaller than the errors of analogous stresses obtained using standard ones, on the basis of which small-sized, i.e. small-sized MgFE of the 1st type are more effective than standard ones. The use of small-sized MgFE of the 1st type in MMFE calculations makes it possible to determine the maximum equivalent stresses with a small error for large CB partitions. The construction of small-sized MgFE of the 2nd type is shown, which are designed on the basis of standard high-precision MgFE with the use of generating FE. A small-sized MgFE of the 2nd type has the same order of accuracy as the standard one, but its dimension is smaller than the dimension of the standard one. The advantage of small-sized MgFE of the 2nd type is that they give rise to discrete CB models of smaller dimension than standard ones.
