Библиографическое описание:Метод локальных аппроксимаций в построении высокоточных МнКЭ малой размерности для расчета композитных тел : научное издание / А. Д. Матвеев. - Текст : непосредственный // Известия Алтайского государственного университета. - 2022. - № 4. - С. 128-139. - ISSN 1561-9443. - ISSN 1561-9451, DOI 10.14258/izvasu(2022)4-20.
Аннотация:Для анализа напряженного состояния композитных тел (КТ) эффективно используется метод многосеточных конечных элементов. При построении по известным процедурам многосеточного конечного элемента (МнКЭ), кратко - стандартного МнКЭ, используются мелкая (базовая) сетка и крупные, вложенные в мелкую. Мелкая сетка порождена базовым разбиением, которое учитывает неоднородную, микронеоднородную структуру МнКЭ, крупные сетки применяются для понижения его размерности. Для стандартного МнКЭ характерно то, что всякая крупная сетка и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области. Это приводит к увеличению размерности стандартного МнКЭ при построении на крупных сетках аппроксимаций высокого порядка, которые используются для повышения его порядка точности. Стандартные высокоточные МнКЭ, т.е. высокого порядка точности, имеют большую размерность, что затрудняет их применение. В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности (кратко - малоразмерных МнКЭ), которые используются при расчете упругих КТ и проектируются на базе стандартных. Основная идея МЛА состоит в том, что в центральной части области малоразмерного МнКЭ на крупных сетках определяются локальные аппроксимации перемещений высокого порядка, в окрестности границы области - малого порядка, что позволяет с помощью различных локальных аппроксимаций варьировать размерность и порядок точности малоразмерного МнКЭ. Показаны два подхода построения малоразмерных МнКЭ, в случае их сложной формы применяются образующие конечные элементы. Расчеты показывают, что малоразмерные МнКЭ порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 15÷50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, отвечающих стандартным МнКЭ, т.е. малоразмерные МнКЭ эффективнее стандартных. Применение в расчетах малоразмерных МнКЭ позволяет для крупных разбиений КТ определять напряжения с малой погрешностью.
The method of multigrid finite elements is effectively used to analyze the stress state in composite bodies (CB). When constructing a multigrid finite element (MgFE), briefly a standard MgFE, using known procedures, a fine grid, and large ones nested in a fine one are used. The fine grid is generated by partitioning, which takes into account the heterogeneous structure of the MgFE, large grids are used to reduce its dimension. For a standard MgFE, it is characteristic that every large grid and the corresponding approximations of displacements are determined throughout its entire area. This leads to an increase in the dimension of the standard MgFE when constructing high-order approximations on large grids, which are used to increase its order of accuracy. Standard high-precision MgFE, i.e. of high order of accuracy, have a large dimension, which makes their application difficult. In this paper, a method of local approximations (MLA) for constructing high-precision small-dimensional MgFE (short - small-sized MgFE) is proposed. Such MgFE are used to calculate elastic CB and are designed on the basis of standard. The main idea of the MLA is that local approximations of high-order displacements are determined on large grids in the central part of the region of a small-sized MgFE, and in the vicinity of the boundary of the region - of a small order, which allows using various local approximations to vary the dimension and order of accuracy of a small-sized MgFE. Two approaches to the construction of small-sized MgFE are shown, in the case of their complex shape, forming finite elements are used. Calculations show that small-sized MgFE generate stresses in the CB, the errors of which are 15÷50 smaller than the errors of similar stresses corresponding to standard MgFE, i.e. small-sized MgFE are more effective than standard ones. The use of smallsized MgFE in calculations makes it possible to determine stresses with a small error for large CB partitions.
Ключевые слова:elasticity, composites, standard and small-sized MgFE, local approximations, forming finite elements, упругость, композиты, стандартные и малоразмерные МнКЭ, локальные аппроксимации, образующие конечные элементы
