Библиографическое описание:Superpositions of free Fox derivations : научное издание / V. A. Roman'kov. - Текст : непосредственный // Прикладная дискретная математика. - 2022. - № 56. - P. 28-32. - ISSN 2071-0410. - ISSN 2311-2263, DOI 10.17223/20710410/56/3.
Аннотация:Fox derivations are an effective tool for studying free groups and their group rings. Let F<sub>r</sub> be a free group of finite rank r with basis {<i>f</i><sub>1</sub>,..., <i>f</i><sub>r</sub>}. For every i, the partial Fox derivations ∂/∂<i>f</i><sub>i</sub> и ∂/∂<i>f</i><sub>i</sub><sup>-1</sup> are defined on the group ring ℤ[F<sub>r</sub>]. For k / 2, their superpositions D<sub>fϵi</sub> = = ∂/∂<i>f</i><sup>ϵk</sup><sub>i</sub> о ... о ∂/∂<i>f</i><sup>ϵk</sup><sub>1</sub>, = (ϵ<sub>1</sub>,..., ϵ<sub>k</sub>) Є{±1}<sup>k</sup>, are not Fox derivations. In this paper, we study the properties of superpositions D<sub>fϵi</sub>. It is shown that the restrictions of such superpositions to the commutant F′<sub>r</sub> are Fox derivations. As an application of the obtained results, it is established that for any rational subset R of F′<sub>r</sub> and any i there are parameters k and such that R is annihilated by D<sub>fϵi</sub>.
Дифференцирования Фокса являются эффективным инструментом исследования свободных групп и их групповых колец. Пусть F<sub>r</sub> - свободная группа конечного ранга r с базисом {<i>f</i><sub>1</sub>,..., <i>f</i><sub>r</sub>}. Для любого i частные дифференцирования Фокса ∂/∂<i>f</i><sub>i</sub> и ∂/∂<i>f</i><sub>i</sub><sup>-1</sup> определены на групповом кольце ℤ[F<sub>r</sub>]. Для k ≥ 2 их суперпозиции D<sub>fϵi</sub> = ∂/∂<i>f</i><sup>ϵk</sup><sub>i</sub> о ... о ∂/∂<i>f</i><sup>ϵk</sup><sub>1</sub>, = (ϵ<sub>1</sub>,..., ϵ<sub>k</sub>) Є{±1}<sup>k</sup> не являются дифференцированиями Фокса. В работе изучаются свойства суперпозиций D<sub>fϵi</sub>. Показано, что ограничения таких суперпозиций на коммутант F′<sub>r</sub> являются дифференцированиями Фокса. В качестве приложения полученных результатов установлено, что для любого рационального подмножества R коммутанта F′<sub>r</sub> и любого i существуют параметры k и ϵ, такие, что R аннулируется суперпозицией D<sub>fϵi</sub>.
