Библиографическое описание:ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА ИНВОЛЮЦИЙ НЕКОТОРЫХ МАТРИЧНЫХ ГРУПП = Tensor representations and generating sets of involutions of some matrix groups : научное издание / Я. Н. Нужин. - Текст : непосредственный // Труды института математики и механики УрО РАН = Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. - 2020. - Т.26, №3. - С. 133-141. - Cited Reference Count: 36. - Funding Agency: This work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the project for the establishment and development of regional centers for mathematical research and education (agreement no. 075-02-2020-1534/1), and by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566). - ISSN 0134-4889. - ISSN 2658-4786, DOI 10.21538/0134-4889-2020-26-3-133-141.
Аннотация:Хорошо известно, что все неприводимые представления групп Шевалле над бесконечными полями и модулярные представления в хороших характеристиках полей определения исчерпываются подпредставлениями тензорных произведений их естественных представлений. В статье рассматриваются такие конкретные два подпредставления и на их основе получаются ответы на два вопроса о числе порождающих инволюций некоторых матричных групп. Для области целостности $D$ характеристики отличной от 2 установлена неприводимость симметрического и внешнего квадратов естественного представления группы $SL_n(D)$ и вычислены их ядра (теорема 1). Обозначим через $n(G)$ (соответственно через $n_c(G)$) минимальное число порождающих (соответственно еще и сопряженных) инволюций группы $G$, произведение которых равно 1. Задачи о нахождении чисел $n(G)$ и $n_c(G)$ для конечных простых групп записаны автором в Коуровской тетради (вопрос 14.69). Исходя из теоремы 1 и неравенства Л.Л. Скотта доказан следующий результат. Пусть $G$ есть $SL_3(D)$ или $SL_6(D)$, где $D$ - область целостности характеристики отличной от 2. Тогда $n(G)>5$, и в частности $G$ не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, а если $D$ является кольцом целых чисел или конечным полем (нечетного порядка), то $n(G)=n_c(G)=6$ (теорема 2).
It is well known that all irreducible representations of Chevalley groups over infinite fields and modular representations in nice characteristics of fields of definition are exhausted by subrepresentations of tensor products of their natural representations. We consider two specific subrepresentations of this kind and use them to answer two questions on the number of generating involutions of some matrix groups. For an integral domain $D$ of characteristic different from 2, we establish the irreducibility of the symmetric and external squares of the natural representation of the group $SL_n(D)$ and find their kernels (Theorem 1). Denote by $n(G)$ (by $n_c(G)$) the minimum number of generating (and also conjugate, respectively) involutions of $G$ whose product is 1. Problems on finding the numbers $n(G)$ and $n_c(G)$ for finite simple groups are written by the author in the <i>Kourovka Notebook</i> (Question 14.69). Based on Theorem 1 and L.L. Scott's inequality, we prove the following result. Let $G$ be $SL_3(D)$ or $SL_6(D)$, where $D$ is an integral domain of characteristic different from 2. Then $n(G)>5$ and, in particular, $G$ is not generated by three involutions two of which commute; moreover, if $D$ is the ring of integers or a finite field (of odd order), then $n(G)=n_c(G)=6$ (Theorem 2).
Ключевые слова:специальная линейная группа над областью целостности, тензорные представления, порождающие множества инволюций, special linear group over the integral domain, Tensor representations, generating sets of involutions
