Библиографическое описание:Elementary Abelian 2-subgroups in an Autotopism Group of a Semifield Projective Plane : научное издание / O. O. Kravtsova. - Текст : непосредственный // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2020. - Т. 32, № . - P. 49-63. - Cited Reference Count: 15. - by the Russian Foundation for Basic Research (Grant. - ISSN 1997-7670. - ISSN 2541-8785, DOI 10.26516/1997-7670.2020.32.49.
Аннотация:We investigate the hypotheses on a solvability of the full collineation group for non-Desarguesian semifield projective plane of a finite order (the question 11.76 in Kourovka notebook). It is well-known that this hypotheses is reduced to the solvability of an autotopism group. We study the subgroups of even order in an autotopism group using the method of a spread set over a prime subfield. It is proved that, for an elementary abelian 2-subgroups in an autotopism group, we can choose the base of a linear space such that the matrix representation of the generating elements is convenient and uniform for odd and even order; it does not depend on the space dimension. As a corollary, we show the correlation between the order of a semifield plane and the order of an elementary abelian autotopism 2-subgroup. We obtain the infinite series of the semifield planes of odd order which admit no autotopism subgroup isomorphic to the Suzuki group Sz<sup>(22n+1)</sup>. For the even order, we obtain the condition for the nucleus of a subplane which is fixed pointwise by the involutory autotopism. If we can choose such the nucleus as a basic field, then the linear autotopism group contains no subgroup isomorphic to the alternating group A<sub>4</sub>. The main results can be used as technical for the further studies of the subgroups of even order in an autotopism group for a finite non-Desarguesian semifield plane. The obtained results are consistent with the examples of 3-primitive semifield planes of order 81, and also with two well-known non-isomorphic semifield planes of order 16.
Изучается гипотеза разрешимости полной группы автоморфизмов недезарговой полуполевой проективной плоскости конечного порядка (вопрос 11.76 в Коуровской тетради). Как известно, эта гипотеза редуцируется к разрешимости группы автотопизмов. Изучая подгруппы четного порядка в группе автотопизмов, мы применяем метод с использованием регулярного множества над полем простого порядка. Показано, что для элементарной абелевой 2-подгруппы в группе автотопизмов выбор базиса линейного пространства позволяет построить матричное представление порождающих элементов, единообразное для полуполевых плоскостей четного и нечетного порядка и не зависящее от размерности пространства. В качестве следствия указано условие, связывающее порядок полуполевой плоскости и порядок элементарной абелевой 2-подгруппы автотопизмов. Выделена бесконечная серия полуполевых плоскостей нечетного порядка, не допускающих подгруппу автотопизмов, изоморфную группе Судзуки Sz<sup>(22n+1)</sup>. В случае четного порядка плоскости получено условие на ядро подплоскости, поточечно фиксируемой автотопизмом порядка два. Выбор такого ядра в качестве основного поля приводит к отсутствию в группе линейных автотопизмов подгруппы, изоморфной знакопеременной группе A<sub>4</sub>. Основные доказанные результаты являются техническими и необходимы для дальнейшего изучения подгрупп четного порядка в группе автотопизмов конечной недезарговой полуполевой плоскости. Результаты согласуются с приведенными в статье примерами 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, а также с хорошо известными двумя примерами неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16.
