В 1945 году А.И. Мальцев исследовал задачу описания абелевых подгрупп наивысшей размерности в комплексных простых группах Ли. Задача инспирирована доказанной ранее И. Шуром теоремой: Наивысшая размерность абелевых подгрупп группы (,C) равна [2/4] и абелевы подгруппы этой размерности при 3 переводятся автоморфизмами друг в друга. Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексным алгебрам Ли. В теории Картана - Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы с использованием классификации систем корней евклидовых пространств . С любой неразложимой системой корней Φ и полем ассоциируют алгебру Шевалле ℒΦ(); ее базу дают база определенной абелевой самонормализуемой подалгебры и элементы ( ∈ Φ) с -инвариантным подпространством . Элементы ( ∈ Φ+) образуют базу нильтреугольной подалгебры Φ(). Методы А. И. Мальцева позднее получили развитие в решении проблемы о больших абелевых подгруппах конечных групп Шевалле. В настоящей статье мы используем разработанные методы для перенесения теоремы А.И. Мальцева на алгебры Шевалле. Мы исследуем следующие задачи: (A) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в алгебре Шевалле ℒΦ() над произвольным полем . (B) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в подалгебре Φ() алгебры Шевалле ℒΦ() над произвольным полем . В статье приводится описание коммутативных подалгебр наивысшей размерности алгебры Φ() классического типа над произвольным полем с точностью до автоморфизмов алгебры ℒΦ() и подалгебры Φ().
In 1945 A. I. Mal'tsev investigated the problem on description of abelian subgroups of largest dimension in complex simple Lie groups. This problem's arisen from the theorem of I. Schur: The largest dimension of abelian subgroups of the group (,C) equals to [2/4] and abelian subgroups of such dimension for 3 are transformed by automorphisms into each other. A. I. Mal'tsev solved his problem by the reduction to complex Lie algebras. In Cartan - Killing theory semisimple complex Lie algebras are classified making use of the classification of root systems in Euclidean space . A Chevalley algebra ℒΦ() is associated with the indecomposable root system Φ and with the field ; the base of the Chevalley algebra consists of the base of certain abelian self-normalized subalgebra and of the elements ( ∈ Φ) with -invariant subspace . The elements ( ∈ Φ+) form a base of niltriangular subalgebra Φ(). Methods of A. I. Mal'tsev were developed for the solving of the problem on large abelian subgroups in finite Chevalley groups. In this article we use the worked out methods for the reduction of A. I. Mal'cev theorem for the Chevalley algebras. We investigate the problems: (A) to describe commutative subalgebras of largest dimension in a Chevalley algebra ℒΦ() over arbitrary field . (B) to describe commutative subalgebras of largest dimension in subalgebra Φ() of the Chevalley algebra ℒΦ() Over arbitrary field . In this article we give the description of all commutative subalgebras of largest dimension in subalgebra Φ() of classical type over arbitrary field up to automorphisms of algebra ℒΦ() and of subalgebra Φ().