Предложена и обоснована экономичная версия метода сопряженных направлений для построения нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений с вырожденной симметричной неотрицательно определенной квадратной матрицей. Предложено однопараметрическое семейство одношаговых нелинейных итерационных процессов вычисления собственного вектора, отвечающего наибольшему собственному значению симметричной неотрицательно определенной квадратной матрицы. Это семейство включает в себя степенной метод как частный случай. Доказана сходимость возникающих последовательностей векторов к собственному вектору, ассоциированному с наибольшим характеристическим числом матрицы. Предложена двухшаговая процедура ускорения сходимости итераций этих процессов, в основе которой лежит ортогонализация в подпространстве Крылова. Приведены результаты численных экспериментов.
An efficient version of the conjugate direction method to find a nontrivial solution of a homogeneous system of linear algebraic equations with a singular symmetric nonnegative definite square matrix is proposed and substantiated. A one-parameter family of one-step nonlinear iterative processes to determine the eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of a symmetric nonnegative definite square matrix is also proposed. This family includes the power method as a special case. The convergence of corresponding vector sequences to the eigenvector associated with the largest eigenvalue of the matrix is proved. A two-step procedure is formulated to accelerate the convergence of iterations for these processes. This procedure is based on the orthogonalization in Krylov subspaces. A number of numerial results are discussed.