Библиографическое описание:Детерминанты как комбинаторные формулы суммирования над алгеброй с единственной n-арной операцией = Determinants as Combinatorial Summation Formulas over an Algebra with a Unique n-ary Operation : научное издание / Г. П. Егорычев. - Текст : непосредственный // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика = BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY-SERIES MATHEMATICS. - 2018. - Т. 26, № . - С. 121-127. - Cited Reference Count: 17. - ISSN 1997-7670. - ISSN 2541-8785, DOI 10.26516/1997-7670.2018.26.121.
Аннотация:С конца 1980-х гг. автор опубликовал серию результатов по матричным функциям, полученным с помощью производящих функций, смешанных дискриминантов (смешанных объёмов в Rn), и известной теоремы поляризации (ее формулировка в наибольшей общности приведена в журнале «Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика» в 2017 г.). Эта теорема позволяет получать для полиаддитивной и симметрической функции множество вычислительных формул (полиномиальных тождеств), содержащих семейство свободных переменных. В 1979-1980 гг. автор получил первое полиномиальное тождество для перманентов над коммутативным кольцом, а в 2013 г. полиномиальное тождество нового типа для детеминантов над некоммутативным кольцом с ассоциативными степенями. В заметке дано общее определение функции детерминанта, названного автором e-детерминантом над алгеброй с единственной n-арной f-операцией. Это определение отлично от хорошо известного определения некоммутативного детерминанта Гельфанда. Показано, что при естественных ограничениях на f-операцию e-детерминант сохраняет основные свойства классического детерминанта над полем R. Получено семейство полиномиальных тождеств для e-детерминантов. В заключении автор выражает уверенность, что представляет интерес получение подобных полиномиальных тождеств для функций Шура, смешанных дискриминантов, результантов и других матричных функций над различными алгебраическими системами. Особенно интересен, по его мнению, ответ на следующий вопрос: для каких n-арных f-операций возможно быстрое вычисление e-детерминантов с помощью квантовых компьютеров?
Since the late 1980s the author has published a number of results on matrix functions, which were obtained using the generating functions, mixed discriminants (mixed volumes in Rn), and the well-known polarization theorem (the most general version of this theorem is published in ”The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics” in 2017). The polarization theorem allows us to obtain a set of computational formulas (polynomial identities) containing a family of free variables for polyadditive and symmetric functions. In 1979-1980, the author has found the first polynomial identity for permanents over a commutative ring, and, in 2013, the polynomial identity of a new type for determinants over a noncommutative ring with associative powers. In this paper we give a general definition for determinant (the e-determinant) over an algebra with a unique n-ary f-operation. This definition is different from the well-known definition of the noncommutative Gelfand determinant. It is shown that under natural restrictions on the f-operation the e-determinant keeps the basic properties of classical determinants over the field R. A family of polynomial identities for the e-determinants is obtained. We are convinced that the task of obtaining similar polynomial identities for Schur functions, the mixed determinants, resultants and other matrix functions over various algebraic systems is quite interesting. And an answer to the following question is especially interesting: for which n-ary f-operations a fast quantum computers based calculation of e-determinants is possible?
Since the late 1980s the author has published a number of results on matrix functions, which were obtained using the generating functions, mixed discriminants (mixed volumes in R-n), and the well-known polarization theorem (the most general version of thi
Since the late 1980s the author has published a number of results on matrix functions, which were obtained using the generating functions, mixed discriminants (mixed volumes in R-n), and the well-known polarization theorem (the most general version of thi
Ключевые слова:детерминанты и перманенты, некоммутативные и мультиоператорные алгебры, теоремы поляризации и включения-исключения, квантовый компьютер, determinants and permanents, noncommutative and multioperator algebras, polarization and inclusion-conclusion theorems, quantum computers
