Библиографическое описание:On Correctness of Cauchy problem for a Polynomial Difference Operator with Constant Coefficients = О корректности задачи Коши для полиномиального разностного оператора с постоянными коэффициентами : научное издание / M. M. Apanovich, E. E. Leinartas. - Текст : непосредственный // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2018. - Т. 26, № . - P. 3-15. - Cited Reference Count: 18. - The research of the first author was supported by RFBR grant no. 18-31-00232.; The research of the second author was supported by RFBR grant no. 18-51-41011 Uzb_t., RFBR [18-51-41011 Uzb_t]. - ISSN 1997-7670. - ISSN 2541-8785, DOI 10.26516/1997-7670.2018.26.3.
Аннотация:The theory of linear difference equations is applied in various areas of mathematics and in the one-dimensional case is quite established. For n 1, the situation is much more difficult and even for the constant coefficients a general description of the space of solutions of a difference equation is not available.In the combinatorial analysis, difference equations combined with the method of generating functions produce a powerful tool for investigation of enumeration problems. Another instance when difference equations appear is the discretization of differential equations. In particular, the discretization of the Cauchy -- Riemann equation led to the creation of the theory of discrete analytic functions which found applications in the theory of Riemann surfaces and the combinatorial analysis. The methods of discretization of a differential problem are an important part of the theory of difference schemes and also lead to difference equations. The existence and uniqueness of a solution is one of the main questions in the theory of difference schemes. Another important question is the stability of a difference equation. For n = 1 and constant coefficients the stability is investigated in the framework of the theory of discrete dynamical systems and is completely defined by the roots of the characteristic polynomial, namely: they all lie in the unit disk. In the present work, we give two easily verified sufficient conditions on the coefficients of a difference operator which guarantee the correctness of a Cauchy problem.
Теория линейных разностных уравнений применяется в различных областях математики и в одномерном случае имеет вполне завершенный вид. Для n 1 ситуация значительно сложнее и даже для постоянных коэффициентов общего описания пространства решений разностного уравнения нет. В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач. Другой источник появления разностных уравнений - дискретизация дифференциальных уравнений. Так, дискретизация уравнения Коши - Римана привела к созданию теории дискретных аналитических функций, которая нашла применение в теории римановых поверхностей и комбинаторном анализе. Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям. Вопрос о существовании и единственности решения относится к числу основных в теории разностных схем.Другим важнейшим вопросом является вопрос об устойчивости разностного уравнения. Для n = 1 и постоянных коэффициентов устойчивость исследуется в рамках теории дискретных динамических систем и полностью определяется корнями характеристического многочлена, а именно: все они лежат в единичном круге.В данной работе приведены два просто проверяемых достаточных условия на коэффициенты разностного оператора, обеспечивающие корректность задачи Коши.
