Библиографическое описание:USE OF CONSERVATION LAWS TO SOLVE THE PROBLEM OF LOAD WAVE IN AN ELASTOPLASTIC ROD : научное издание / S. I. Senashov, I. L. Savostyanova, E. V. Filyushina. - Текст : непосредственный // Сибирский журнал науки и технологий. - 2018. - Т. 19, № 2. - P. 227-232. - ISSN 2587-6066, DOI 10.31772/2587-6066-2018-19-2-227-232.
Аннотация:The process of propagation of plastic deformations in a semi-infinite elastic plastic rod caused by dynamic loading applied to the end of the rod, which is not decreasing in time, is considered. The equations are written in the Lagrangian coordinate system. It is assumed that during deformation there is no lateral bulging of the rod and that the influence of transverse deformations of the rod on the process of propagation of longitudinal waves is negligible. At the initial moment, the rod is in a deformed and dormant state. Small deformations of the rod are considered. The density of the rod during deformation does not change. The only non-zero component of the stress tensor will be the component along the ox axis, non-zero components of the strain tensor will be the components along the Ox, Oy axes. As a result, a system of two quasilinear first-order homogeneous equations is constructed. The equations are hyperbolic. They are built for performance and ratio on them. Next, the equations are written in terms of Riemann invariants. For the equations constructed, the conservation laws are found in the case when the current remaining depends only on the functions sought. As a result, a system of linear equations with coefficients depending only on the required functions is obtained. Тhe construction of conservation laws is reduced to the solution of the boundary value problem for the known Euler-Poisson-Darboux equations. This problem is solved with the help of Riemann functions. The conservation laws allowed us to find the coordinates of the points of intersection of characteristics, and thus to solve the problem. In conclusion, the article considers the case when one of the characteristics crosses the line on which the initial conditions are given. In this case, as is known, the Cauchy problem cannot be solved. This leads to a procedure which, with the help of conservation laws, makes it possible to find out the solvability of the Cauchy problem. It is reduced to the solution of a simple integral equation by the method of successive approximations.
Рассмотрен процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упруго-пластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагрузкой, не убывающей во времени. Урав- нения записаны в лагранжевой системе координат. Предполагается, что в процессе деформации не происхо- дит бокового выпучивания стержня и что влияние поперечных деформаций стержня на процесс распростра- нения продольных волн пренебрежимо мало. В начальный момент стержень находится в деформированном состоянии и состоянии покоя. Рассмотрены малые деформации стержня. Плотность стержня в процессе деформирования не изменяется. Единственной отличной от нуля составляющей тензора напряжений будет компонента вдоль оси ox, отличными от нуля составляющими тензора деформаций будут компоненты вдоль осей Ox, Oy. В результате построена система двух квазилинейных однородных уравнений первого порядка. Уравнения являются гиперболическими. Для них построены характеристики и соотношения на них. Далее уравнения записаны в терминах инвариантов Римана. Для построенных уравнений найдены законы сохранения в случае, когда сохраняющийся ток зависит только от искомых функций. В результате получена система линейных уравнений с коэффициентами, зависящими только от искомых функций. Построение законов сохра- нения сведено к решению краевой задачи для известных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Эта задача решена с помощью функций Римана. Законы сохранения позволили найти координаты точек пересечения характе- ристик, а значит, и решить поставленную задачу. В заключение рассмотрен случай, когда одна из характери- стик пересекает линию, на которой заданы начальные условия. В этом случае, как известно, задача Коши решена быть не может. Это приводит к процедуре, которая с помощью законов сохранения позволяет выяс- нить вопрос о разрешимости задачи Коши. Она сводится к решению несложного интегрального уравнения методом последовательных приближений.
